Die MEFAK-Methodik: Mehrjähriges Ein-Faktor-Ausfallmodell mit zeitlicher Korrelation

In der DZ BANK Gruppe ist der MEFAK-Test das zentrale Werkzeug zur Überprüfung der Kalibrierung eines Ratingverfahrens. Es handelt sich um eine Methodik zur Simulation von Ausfallanzahlen zur angemessenen Bestimmung von Akzeptanzbändern, die auch Korrelationen berücksichtigen kann. Als Weiterentwicklung zum bekannten Binomialtest mit Assetkorrelation (Basel-Ein-Faktor-Modell) berücksichtigt der MEFAK-Test die komplette, mehrjährige Datengrundlage und kann durch einen zusätzlichen Parameter auch zeitabhängige Korrelationen abbilden. Die Verteilungen der Ausfallanzahlen werden nicht ausschließlich auf Portfolioebene, sondern zusätzlich auf Ratingklassen- und Jahresebene simuliert. Auf diese Weise ist es möglich die Kalibrierung simultan und gleichzeitig differenziert über Jahre und Ratingklassen hinweg beurteilen zu können.

Die für die Anwendung des MEFAK-Tests benötigten Korrelationsparameter müssen im Vorfeld bestimmt werden. Zur Schätzung der Korrelationsparameter wird die Grundstruktur der MEFAK-Methodik invertiert und es kommen bayessche Methoden zum Einsatz.

MEFAK Test

Der MEFAK-Test lässt sich am besten anhand der grafischen Darstellung in ► Abb. 01 beschreiben. Die Parameter werden dabei als Knoten bzw. Kästchen dargestellt. Durch die Verbindung der Parameter mit Pfeilen, lassen sich die Zusammenhänge – ob stochastisch (rote Pfeile) oder deterministisch (schwarze Pfeile) – einfach ablesen, wobei die Farben der Kästchen angeben, um welche Art von Parametern es sich handelt.

Konkret stellen die blauen Felder die vorgegebenen latenten Größen des Tests dar, hier die durch das Rating vorgegebenen mittleren Ausfallwahrscheinlichkeiten ${PD}_{kj}$ pro Ratingklasse $k$ und Jahr $j$, sowie die beiden Korrelations­para­meter $ρ$(Assetkorrelation) und $τ$ (zeitliche Korrelation).

Als beobachtete Größen (grünes Feld) wird die Zahl der unter Ausfallrisiko stehenden Kunden $N_{kj}\$ pro Ratingklasse und Jahr aufgefasst.

Der systematische Faktor (im Folgenden auch „Konjunktur“ genannt) $C_j$ pro Jahr und die durch ihn mitbestimmte bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit ${PD}_{kj}^c$ pro Rating und Jahr werden als latente Größen (rote Felder) nicht beobachtet.

Die Zahl der Ausfälle $D_{kj}$ pro Ratingklasse und Jahr, sowie weitere von der Ausfallzahl abhängige Fehlermaße $E$, sind abhängige Zufallsvariablen (gelbe Felder), deren Verteilung simuliert wird.

Die einzelnen Variablen werden im Folgenden konkretisiert. Der systematische Faktor $\vec{C}$ wird als $J$-dimensionale normalverteilte Zufallsvariable gewählt, wobei $J$ die Anzahl vorhandener Jahresscheiben bezeichnet, mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

Gleichung 01:

und der zeitlichen Kovarianzmatrix

Für die bedingte PD gilt

Gleichung 02:

analog zum bekannten Basel-Einfaktor-Modell, wobei $\Phi$ die Verteilungsfunktion der Standard­nor­mal­verteilung bezeichnet.

Bei gegebener bedingter Ausfallwahrscheinlichkeit und bekannter Fallzahl sind die Ausfälle binomialverteilt

Gleichung 03:

Es können somit, gegeben die geschätzten PDs $PD=\left\{{PD}_{kj}|1\le k\le K,1\le j\le J\right\}$ des Ratingverfahrens, die Anzahlen von Kreditnehmern $\ N=\left\{N_{kj}|1\le k\le K,1\le j\le J\right\}$ und Korrelationsparameter $\rho$ und $\tau$, die Ausfallanzahlen $D=\left\{D_{kj}|1\le k\le K,1\le j\le J\right\}$ unter der Nullhypothese, dass die geschätzten PDs die Ausfallwahrscheinlichkeit korrekt vorhersagt, simuliert werden. Beim MEFAK-Test werden dann – wie üblich bei Kalibrierungstests – die empirischen Ausfallanzahlen mit der Verteilung der simulierten Ausfallanzahlen unter der Nullhypothese verglichen.

Als Output wird eine Verteilung erzeugt (hier in ► Abb. 02 die Verteilung der Ausfallrate), die grafisch ersichtlich macht, wo der empirische Wert (pinke Linie) in Bezug auf die Akzeptanzbereiche (highest density interval, kurz HDI) liegt.

Da die Ausfallanzahlen unter der Berücksichtigung der Korrelationsparameter für alle Jahresscheiben gleichzeitig simuliert werden, kann die Kalibrierung global getestet werden. Gleichzeit ist man aber auch in der Lage jedes Jahr und jede Ratingklasse individuell zu überprüfen, da die Ausfälle pro Jahr und Ratingklasse gesampelt werden.

► Abb. 03 enthält eine auf Jahresebene differenziert berechnete und komprimierte Darstellung der HDI-Bänder und Ausfallraten von Abbildung 2.

Der MEFAK-Test ist eine Verallgemeinerung von etablierten Tests. Zum einen entspricht der MEFAK-Test einem Binomialtest, wenn die Assetkorrelation auf null gesetzt wird. Zum anderen liegt bei zeitlicher Korrelation gleich null das Basel-Ein-Faktor-Modell vor. Durch die simultane Simulation von Ausfallanzahlen in allen Ratingklassen über die Jahre gehen auch auf Portfolioebene keine über das ganze Portfolio gemittelten PDs, sondern die ratingklassenspezifischen PDs, in die Simulation der Ausfallanzahlen ein.

Korrelationsparameterschätzung

Um für den MEFAK-Test geeignete Korrelationsparameter zu erhalten, wird bei der Schätzung der Parameter auch die MEFAK-Methodik verwendet. Dazu muss die MEFAK-Methodik mit Hilfe von Bayesschen Methoden „invertiert“ werden.

Aus den beobachteten Kreditnehmer- und Ausfallanzahlen $N_{kj}\$und $D_{kj}$ ist es das Ziel die wahrscheinlichsten Parameter $\rho$ und $\tau$ zu finden, welche zu den empirischen Daten passen.

Das bedeutet, aus der in Vor­wärts­richtung definierten Modell-Likelihood der Form $p\left(B\middle| A\right)$, repräsentiert durch eine gerichtete Verbindung $A\rightarrow B$, wird die A-Posteriori-Verteilung von $A$ bedingt auf alle verfügbaren beobachten Daten $B$, also $p\left(A\middle| B\right)\$per Bayesscher Formel berechnet:

Gleichung 04:

Zur Korrelationsparameterbestimmung werden also, anders als beim Signifikanz­test, auch die Ausfalldaten $D$ als beobachtet angenommen und für die Variablen $\rho,\tau$ deren A-Posteriori-Verteilung bestimmt.

Für die Approximation von $p(A|B)$ wird das Gibbs-Sampling genutzt, ein Standard-Verfahren der bayesschen Statistik, welches ein MCMC-Algorithmus ist und einen etablierten Spezialfall des Metropolis-Hastings-Algorithmus darstellt. Das asymptotische Verfahren des Gibbs-Samplings hat sich für Approximationen der A-posteriori-Verteilung etabliert, um die numerisch aufwendige und instabile Schätzung der Wahrscheinlichkeit $p(B)$, d.h. des Integrals im Nenner aus Gleichung 4 zu umgehen.

Für die empirischen Ausfallwahrscheinlichkeiten wird pro Ratingklasse das langfristige Mittel der Ausfallrate genutzt, damit die PDs des Ratingverfahrens bei der Korrelationsparameterschätzung nicht eingehen.

Die Korrelationsparameter müssen für jedes Portfolio und jedes Ratingverfahren spezifisch geschätzt werden, da sie sowohl das Korrelationsverhalten als auch die Ratingphilosophie des jeweiligen Verfahrens abbilden müssen. Es hat sich gezeigt, dass die Höhe der Korrelationsparameter und die Ratingphilosophie eng zusammenhängen. Für Ratingverfahren mit einem Point-in-Time Charakter werden bei der Durchführung des MEFAK-Tests (und Setzen der Korrelationsparameter auf null) die Akzeptanzbänder nur aufgrund der Migration der Kunden in andere Ratingklassen breiter. Die mittels MEFAK-Methodik ermittelten Korrelationsparameter sind für Point-in-Time-Verfahren folglich klein, da alle Informationen über die Migrationen bei der Schätzung (durch die $N_{kj}$) pro Jahr und Ratingklasse eingehen. Bei einem Ratingverfahren mit einer Through-the-Cycle Philosophie hingegen gibt es keine bzw. kaum Migrationen der Kunden in andere Ratingklassen, so dass die konjunkturbedingten Schwankungen von Ausfallanzahlen im Zuge der konjunkturellen Entwicklung über die Korrelationsparameter bzw. die Adjustierung der Ausfallwahrscheinlichkeiten mittels bedingter PD erfolgen muss. ► Abb. 04 stellt den Zusammenhang zwischen den Korrelationsparametern und der Ratingphilosophie schematisch dar.

Fazit

Der Begriff MEFAK-Methodik umfasst den Kalibrierungstest (MEFAK-Test) sowie die Korrelationsparameterschätzung, die für die Anwendung des MEFAK-Tests benötigt werden. Der MEFAK Test weist gegenüber anderen Tests viele Vorteile auf. Da die Simulation der Ausfallanzahlen für alle Jahrescheiben und Ratingklassen gleichzeitig erfolgt, wird die Kalibrierung des Ratingverfahrens wesentlich robuster beurteilt als auf Basis von Einjahrestests oder Test, die pro Ratingklasse durchgeführt werden müssen. Trotzdem ist man in der Lage jedes Jahr und jede Ratingklasse individuell zu prüfen. Die Korrelation von Ausfallanzahlen geht differenziert nach unter- und zwischenjährlicher Korrelation über die Asset- und zeitlichen Korrelationsparameter ein. Neben der Ausfallrate können noch weitere von der Ausfallanzahl abhängige Fehlermaße getestet werden. Ein weiterer Vorteil ist, dass als Output eine Verteilung erzeugt wird, die grafisch ersichtlich macht, wo genau der empirische Wert in Bezug auf die Akzeptanzbereiche liegt.

Zuletzt ist mit der invertierten MEFAK-Methodik sichergestellt, dass die Schätzung der Korrelationsparameter unter Berücksichtigung der Ratingklassen-Informationen und nicht auf Gesamt-Portfolioebene ermittelt werden. Dadurch werden die für das Ratingverfahren und der Ratingphilosophie geeigneten Korrelationsparameter bestimmt.